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Texas Instruments TI-92 Plus Seite 590

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Anhang B: Referenz 573
8992APPB.DEU TI-89/TI-92 Plus:8992appb.doc (German) LOGOS GROUP Revised: 04/18/00 2:44 PM Printed: 04/19/00 2:38 PM Page 573 of 34
Die Bogacki-Shampine 3(2)-Formel liefert ein Ergebnis mit Genauigkeit
dritter Ordnung und eine auf einer eingebetteten Formel zweiter
Ordnung basierenden Fehlerschätzung. Für eine Aufgabe der Form:
y' = ƒ
(
x, y
)
und eine gegebene Schrittweite h kann die Bogacki-Shampine-Formel
folgendermaßen geschrieben werden:
F
1
= ƒ
(
x
n
, y
n
)
F
2
= ƒ
(
x
n
+ h
1
2
, y
n
+ h
1
2
F
1
)
F
3
= ƒ
(
x
n
+ h
3
4
, y
n
+ h
3
4
F
2
)
y
n+1
= y
n
+ h
(
2
9
F
1
+
1
3
F
2
+
4
9
F
3
)
x
n+1
= x
n
+ h
F
4
= ƒ
(
x
n+1
, y
n+1
)
errest = h
(
5
72
F
1
ì
1
12
F
2
ì
1
9
F
3
+
1
8
F
4
)
Die Fehlerschätzung errest wird zur automatischen Schrittweiten-
kontrolle verwendet. Eine gründliche Diskussion dieses Vorgangs
finden Sie in Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
von L. F. Shampine (New York: Chapman & Hall, 1994).
Die
TI
-
89 / TI
-
92 Plus
-Software nimmt die Schrittweitenanpassung nicht
so vor, dass bestimmte Ausgabepunkte erreicht werden. Es werden
hingegen die größtmöglichen Schritte vorgenommen (abhängig von
der Fehlertoleranz
diftol
) und Ergebnisse für x
n
x
x
n+1
geliefert.
Hierzu wird das mit der Steigung F
1
durch den Punkt
(
x
n
, y
n
)
und mit
der Steiung F
4
durch
(
x
n+1
, y
n+1
)
gehende kubische Interpolations-
polynom verwendet. Die Interpolierende ist effektiv und liefert über
die gesamte Schrittweite Resultate, die ebenso genau sind, wie die
Resultate an den Schrittenden.
Die Runge-Kutta-Methode
Für Runge-Kutta-Integrationen gewöhnlicher Differential-
gleichungen verwendet der
TI
-
89 / TI
-
92 Plus
die Bogacki-
Shampine 3(2)-Formel, wie sie im Magazin
Applied Math
Letters
, 2 (1989), Seiten 1–9 veröffentlicht wurde.
Bogacki-Shampine 3(2)-
Formel
… 590 …

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